Calcul littéral et calculatrice « collège »

Introduction

Les techniques de développement et de factorisation simple d’expressions littérales sont au programme du collège.

Elles découlent de la distributivité de la multiplication sur l’addition, et peuvent s’appuyer sur les identités remarquables.

Distributivité

\underbrace{a(b+c)}_\text{produit}=\underbrace{ac+bc}_\text{somme}

Identités remarquables

Carré d’une somme

\underbrace{(a+b)^2}_\text{produit}=\underbrace{a^2+2ab+b^2}_\text{somme}

Carré d’une différence

\underbrace{(a-b)^2}_\text{produit}=\underbrace{a^2-2ab+b^2}_\text{somme}

Différence de deux carrés

\underbrace{(a-b)(a+b)}_\text{produit}=\underbrace{a^2-b^2}_\text{somme}

Vérification d’une identité

Lorsque l’on factorise ou développe une expression littérale, on établit une identité entre deux expressions différentes. Cela signifie que si on remplace les variables par n’importe quelle valeur, les deux expressions donneront le même résultat.

Les techniques de développement et de factorisation doivent être maîtrisée à l’aide d’un entrainement. L’enjeu de cet article est de disposer un outil simple et rapide de vérification des développements et factorisation à l’aide d’une calculatrice de type collège.

L’idée est simple. Il s’agit de stocker en mémoire deux valeurs ayant extrêmement peu de chance d’être solution d’une équation et de les utiliser comme valeurs de test.

J’ai choisi comme valeurs improbables de test \sqrt{\pi} et \dfrac{1}{\pi^2}.

Calculatrice Casio fx-92+

Cette calculatrice bénéficie d’un mode vérification destiné à tester les égalités.

Préparation

Saisir les valeurs test dans les mémoires E et F. Les autres mémoires seront éventuellement disponibles pour réaliser des calculs numériques.

Ces valeurs test pourront être utilisées pour remplacer les variables (x,\ y,\ a,\ b... …) dans les expressions à vérifier.

Vérification d’une expression

Il suffit d’utiliser le mode vérification de la calculatrice accessible à l’aide de la touche menu.

Par exemple on veut vérifier si (a+b)^2=a^2+b^2 ou si (a+b)^2=a^2+b^2+2ab.

L’expression est saisie en remplaçant les variables de l’expression par les valeurs prédéfinies E et F :

Calculatrice TI Collège +

Cette calculatrice ne dispose pas d’un mode de vérification.

Préparation

On saisit les valeurs tests dans les mémoires [math]x[/latex] et [math]y[/latex] de la calculatrice. Les autres mémoires seront disponibles pour les calculs numériques.

Pour affecter des valeurs aux différentes mémoires, il faut appuyer sur la touche d’affectation autant de fois que nécessaire.




Vérification

La calculatrice ne possédant pas de fonction de vérification, on calculera le premier membre que l’on affectera dans la mémoire t.

On soustraira cette valeur au second membre. Si les deux membres sont égaux, le résultat sera nul.

Par exemple on veut vérifier si (a+b)^2=a^2+b^2 ou si (a+b)^2=a^2+b^2+2ab.

L’expression est saisie en remplaçant les variables de l’expression par les valeurs prédéfinies x et y :

Nous avons donc :
(a+b)^2\neq a^2+b^2

Nous avons bien :
(a+b)^2= a^2+b^2+2ab